1平均正常死亡率和非正常死亡率
我们选择凝聚层次聚类的方法，分析“三年自然灾害”研究中“正常年份”选择问题。首先，对1949-1970年的数据进行定性分析。选择1949～1970年的数据是为了保证“三年自然灾害”[1959～1961]的前序与后序时间等长，这对于分析人口波动的前期特征与后期特征通常是有效的。“三年自然灾害”期间的出生率与死亡率与其余年份的差异较为明显。
图3是1949～1970年年人口出生率与人口死亡率的波动曲线，由图可知，“三年自然灾害”期间，人口出生率小于人口死亡率，人口出生率与人口死亡率的间隔是动态变化的。通过定性分析人口指标的动态变化特性，我们利用凝聚聚类的方法，对人口波动年份的类特征进行聚类分析。凝聚聚类实验的结果说明，凝聚聚类算法对于“正常年份”的确定是有效的。在短序凝聚聚类分析的前提下，我们构造1949-2010年的全序数据，并进行凝聚聚类分析。
通过分析两次聚类的聚类树状图发现，1958年人口指标与1959年的人口指标具有最大的同类度，与1961年也具有较高的同类度。因此，1958年、1959年和1961年三年凝聚为一类。这就说明，“三年自然灾害”在1958年已经出现明显的征兆，1960年达到波峰。相对于1959年与1960年，1958年的人口指标与两者都具有较高的同类度。这一结论与实际情况同样符合。
根据全序凝聚聚类的分析结果可知：1949～1954年间的六年依次凝聚为一类；
1955～1958年间的四年凝聚为一类；
1959～1960年的二年凝聚为一类。表3显示了1955～1958年间的凝聚系数，1955年与1956年的凝聚系数较小，1956年与1957年虽然凝聚为一类，但是凝聚系数相比于前者呈大幅增加。因此，1949～1958年间，1955年与1956年的人口波动指标应该属于较为正常的年份。需要特别指出的是，1955年在二次凝聚时，与1949年具有较小的凝聚系数，相比于1955年，1956年的波动应该相对“正常”。
可见，正常年份人口指标的设定，可以选择1955年与1956年的人口指标均值，或者选择1956年的人口指标。相比于选择单年作为“标准年”，双年均值可以较好清除单年特定扰动因素对计算结果的干扰。因此，我们选择将1955与1956两年的人口指标均值，作为计算的“标准年”。将1955年与1956年的人口死亡
平均正常死亡率=（12.28‰+11.40‰）/2=11.84‰
非正常死亡率=人口死亡率一正常死亡率
1949—1961年分年度正常死亡率和非正常死亡率计算结果，如表4所示。
2正常死亡人口和非正常死亡人口
知道了正常死亡率和非正常死亡率，可以根据以下公式推算出正常死亡人口和非正常死亡人口数量（见表5）：
正常死亡人口数=当年正常死亡率x当年人口
非正常死亡人口数=当年非正常死亡率x当年人口
“三年自然灾害”（1959—1961年）期间的非正常死亡人口合计1242.63万人，与茅于轼先生在《饥荒饿死人估算方法》中计算得出的仅1959和1960两年就饿死3634万人的结果相差甚远，仅为其34.2%。
3正常出生率和少生人口
从表5中的数据可以看出，“三年自然灾害”期间的非正常死亡人口数，与茅于轼先生计算得出的两年就饿死3634万人的结果相差甚远。
与计算平均正常死亡率同理，对于一个人口出生率发生突然变化的时间段，用以后时期的正常状况作为这一时间段的非正常变化的参照物是不合适的，需要选择发生突然变化之前的正常状况作为比较分析的参照物。既然1955年与1956年在客观上是平均正常死亡率的正常年份，自然也应该是正常出生率的正常年份。高非正常死亡率、高正常出生率的“双高”并存的年份，从理论和实践上看都不应该是“正常年份”。
基于以上认识，将选定的正常年份1955年与1956年的人口出生率加总平均后，便可以计算出正常年份的平均正常出生率，进而推算出正常出生人口和少出生人口（见表6）：
平均正常出生率=（32.60‰+31.90‰）/2=32.25‰
正常出生人口数=当年正常出生率x当年人口
少出生人口数=（正常出生率-当年出生率）x当年人口
表6中的数据表明，“三年自然灾害”期间少出生人口合计2193.31万人，大于茅于轼先生在《饥荒饿死人估算方法》中计算得出1959和1960两年就少出生1624万人的结果。
4“三年自然灾害”期间全国总人口减少数量
知道了“三年自然灾害”期间的非正常死亡人数和少出生人数，就可以计算出这一期间全国总人口减少的数量：
“三年自然灾害”全国总人口减少（万人）=非正常死亡人数（万人）+少出生人数（万人）
=1242.63万人+2193.31万人=3435.94万人
“三年自然灾害”期间，全国非正常死亡1242.63万人，少出生2193.31万人，导致全国总人口减少3435.94万人。这一计算结果与茅于轼先生在《饥荒饿死人估算方法》中计算得出1959和1960两年全国总人口合计减少5259万人的结论相比，两者相差1839.65万人，前者仅为后者的65%。
四、结论
1上述分析的结果表明：“三年自然灾害”期间，全国总人口非正常减少3435.94万人。由于非正常减少的人口是由非正常死亡人口、少出生人口两部分组成的，不能将非正常减少的人口等同于饿死人口。
2“三年自然灾害”期间，全国非正常死亡人口1242.63万人。导致非正常死亡的原因有很多，既有水灾、旱灾、震灾和瘟疫，也有战争和其它突发事件，因此将非正常死亡人口都归罪于饿死是不正确的。
3“三年自然灾害”期间，全国少出生2193.31万人。虽然少出生人口中有一部分是属于育龄人口饿死而未能出生，但这部分未出生人口并没有饥饿经历，将之归入饿死人口显然是不正确的。
4运用包括茅于轼先生使用的二次多项式回归模型在内的五种数学模型，对拟合估算结果进行互相验证和比较分析的结果表明：茅于轼先生的方法综合偏差度最大，为24.23%，比偏差度最小的年均增长率数学模型的偏差度高出近10个百分点，表明其误差最大，最不科学。
5需要特别说明的是，我们在使用多种数学模型对茅于轼先生使用的数学模型进行比较和检验时，之所以使用了与茅于轼先生相同数量的年样本，一方面是受有效年样本数量不足的限制；
另一方面是便于同茅于轼先生所使用的数学模型进行比较和检验。我们通过使用多种数学模型进行估算和验证，并运用短序列凝聚层次聚类、全序凝聚聚类等方法努力排除扰动因素对人口增长的干扰，估算结果充分证明了茅于轼先生对三年自然灾害期间非正常死亡人口的估算是不正确。
6“三年自然灾害”期间发生了全国性的饥荒，有些人因为缺少食物而饿死，这些都是客观存在的历史事实。本文是在尊重上述历史事实的基础上，运用现代数学模型检验茅于轼先生对“三年自然灾害”期间全国非正常死亡人口的估算结果，并得出尽可能符合客观实际的估算结论。
责任编辑：郑洪昌